그냥 이것이 싸이버네틱스를 설명하는 과정 중이라는 사실 만으로도 멋지게 들립니다. 하지만 내용없는 느낌일 뿐이지요ㅜㅜ 그러고 보면 싸이버네틱스가 뭐하는 학문인지도 모르겠네요.  앞으로 해나가면서 알려나? 진짜 궁금한 것은 -이것 역시 초보적인 것이라서 묻기도 부끄러운데-시간평균과 공간평균이 뭔지요? 그리고 에르고딕가설 이전에는 어땠기에 이둘이 같다는 것이 중요하게 부각되나요? 위상공간은 관심있는 대상계의 운동을 기술하는 공간이라고 알고 있는데, 위상평균은 또 무엇인지 궁금 답답 합니다^^ 아마도 평균이라는 말이 들어갔으니 통계역학과 관련되었다는 느낌은 오는데...

ㅋ 지난 시간에 제가 위상평균, 공간평균, 시간평균 얘기를 주루룩 하긴 했습니다만, 엘리엇님이 질문을 하시는 것으로 보면, 분명히 제가 제대로 못 한 게 틀림없습니다. 다음 시간에 제대로 (정말 제대로!!!) 다시 상세하게 설명할 작정입니다.

지난 시간에는 괜히 애꿎은 빔프로젝터에 시간만 뺏기는 바람에 정작 해야 할 것은 놓친 것 같습니다.

전공자들은 그냥 넘어갈 것을 귀찮게 해드리는 것 같아
지가 더 죄송합니다. 다음에는 프로젝터가 좀 말을 들었으면
좋겠네요. 써비스를 받아봐야 되는건 아닌지 모르겠네요 헐.

아~ 정말정말 흥미로운 이야기들이 오갔겠다는 생각이 절로 들어서, 낼모레 시험 두개가 있음에도 불구하고 문득 이렇게 글을 쓰게 되네요.(길게는 못 쓸 거 같다는--;) 먼저 말씀드릴 것은 시간평균과 공간평균은 절대로 초보적인 개념이 아니므로 전혀 부끄러워하실 필요가 없다는 겁니다^^

일단 엘리엇 님의 질문에 초점을 맞추어서... 쉽게(너무 단순화해서 사실 개념적으로 혼란의 여지가 있습니다만) 주사위 두 개를 생각해 봅시다. 주사위 두 개를 동시에 던져서 나오는 두 눈의 합을 이 시스템의 '에너지'라고 하고, 우리는 각 눈의 수는 모르며 단지 두 눈의 합 즉 에너지만을 안다고 합시다. 그럼 그 에너지는 2부터 12까지 11가지가 되겠죠. 여기서 우리의 관심사는 어떤 에너지값이 가장 확률적으로 높게 나타날까?입니다.
뭐, 이 경우는 깊이 생각할 것도 없이, 에너지 7이 가장 확률적으로 높을 겁니다. 왜냐하면 7을 만드는 두 눈의 합의 배열이 여섯가지 - (1,6), (2,5), (3,4), (4,3), (5,2), (6,1)  - 로 제일 많으니까요. 그리고 이 에너지 7의 상태를 통계물리에서는 '평형 상태'라 부릅니다. 이거 정말 당연한 이야기입니다.
그런데 이 당연한 얘기를 엄밀하게 따지자면 당연하지 못하게 받아들이는 사람들이 있으니, 바로 물리학자들과 수학자들입니다. 문제는 '어떻게 우리가 실제로 에너지 값을 얻는가?'에 있습니다. 어떻게 얻냐구요? 당연히 주사위를 던져서 얻죠. 하지만 좀 더 생각해 보면 주사위를 던지는 방법도 두 가지가 있음을 알 수 있습니다.
첫번째는 주사위 한 쌍을 무지무지하게 많이 던져 보는 것입니다. 이렇게 해서 얻은 모든 값들을 던진 횟수로 나누는 것을 '시간 평균'이라고 합니다. 좀 더 풀어 말한다면 '에너지(예컨대 6)의 시간에 대한 평균'이라고 합니다. 두번째는 똑같은 주사위 한 쌍을 무지무지하게 많이 마련해서, 동시에 던지는 것입니다. 이렇게 해서 얻은 모든 값들을 주사위 쌍의 갯수로 나누는 것을 '앙상블 평균'이라고 합니다. 좀 더 풀어 말한다면 '에너지(예컨대 6)의 앙상블에 대한 평균'이 되겠죠. 여기서 주사위 한 쌍 한 쌍을 '앙상블'이라고 부르는 것입니다. (※자연님께서도 말씀하셨지만 여기서 앙상블은 볼츠만이 생각한 개념이 아니라 깁스가 도입한 개념이지만 어차피 같게 되기 때문에 죽 앙상블을 가지고 말씀드리겠습니다.)
아니 이것도 당연히 같지 않겠느냐고 생각하신다면 그것이야말로 정상입니다. 하지만 이것을 정상으로 여기지 않는 사람들이 바로 수학자들과 물리학자들입니다. 왜 이 두 가지 방법을 구분하는가가 바로 문제의 포인트인 것이죠. 두 가지 방법 중에서 현실적으로 가능한 방법은 어떤 것일까요? 당연히 전자 즉 '시간 평균'입니다. 주사위 무한개를 마련해서 동시에 던질 수는 없는 노릇이죠 ㅋ 우리가 실험을 해서 얻는 모든 물리량은 바로 '시간 평균'에 의해 얻어지는 값들입니다. 그러나 이 방법은 우리가 얻는 값들이 유한할 수밖에 없다(뭐 암만 반복 측정한다고 하더라도 늙어 죽을 때까지 할 수는 없는 노릇이니까요)는 단점을 가지고 있습니다. 
반면 이론적으로 완벽한 방법은 어떤 것일까요? 후자 즉 '앙상블 평균'입니다. 여기서 완벽하다는 말의 의미는 '수학적으로 정확하게 구할 수 있다'는 의미입니다.  즉 앙상블 평균은 시간 평균과는 달리 대표값들이 원리적으로 무한하다는 장점을 가지고 있습니다. 우리의 볼츠만 할아버지께서 평형 상태와 엔트로피를 연결짓는 업적을 세우셨을 때 그는 '앙상블 평균(실제로는 위상공간 평균)'을 사용하였습니다. 하지만 실제로 실험을 했을 때 우리는 불가피하게 시간 평균을 사용할 수밖에 없고 따라서 볼츠만은 '시간 평균은 앙상블 평균과 같다'는 가정을 하기에 이르렀던 것입니다. 이것은 수학의 견지에서 본다면 분명한 비약입니다. 좀 말도 안 되는 딴지를 건다면, 우리나라 청소년 십만 명의 키를 재서 나온 평균키를 우리나라 청소년 전체의 평균키와 동일시하는 것과 같은 우(?)를 범하는 것이니까요.(물론 앙상블 평균은 청소년의 수가 무한할 때 정확해진다는 것을 상기해야 합니다.)

뭐 이래저래 해서 이렇게 된 건데요(이거 글이 또 길어졌네요--;) 저 주사위의 예를 끊임없이 생각해 보시면 다 이해가 되실 겁니다. 정리를 하자면, 시간 평균은 주사위를 여러 번 굴려서 얻는 평균이고, 공간평균(=위상공간평균=앙상블평균)은 무지 많은(정확하게는 무한개의) 주사위를 굴려서 얻는 평균이라는 겁니다. 에르고딕 가설은 볼츠만이 처음 정식화한 것이고, 그 전에는 물론 시간 평균과 위상공간 평균이라는 개념은 있었지만 이 둘이 같은지 다른지에 대한 관심은 별로 없었습니다. 에르고딕 가설이 중요하게 부각되는 것은 그것이 시간 평균(즉 유한한 범위에서의 값)을 앙상블평균(즉 무한한 범위에서의 값)과 동일시하기 때문에, 그것이 타당한지 아닌지에 대한 논란이 일게 되었다는 뜻입니다. 

아 그리고 한 마디만 더 하자면, 이건 정말로 통계역학의 기초에 대한 역사적인 스토리이며 배경지식에 불과하다는 사실입니다. 싸이버네틱스를 이해할 때 크게 문제가 되지는 않을 거니까 걱정은 안 하셔도 될 듯 합니다^^  

아참, 또 하나 정말 제 흥미를 끄는 것은 바로 자연님이 말씀하신, 양자역학의 서울해석에 따른 통계역학 개념들의 정리인데요,  특히나 앙상블 평균과 시간 평균 개념의 차이를 칸트의 지성과 오성 개념에 빗대어 말씀하신 것은 정말 흥미롭네요. (제가 요새 철학책을 못 본 지 백만년쯤 된 거 같아서 칸트고 뭐고 하나도 기억나지 않습니다만 ㅠ.ㅠ) 나중에 시간 나시면 더 자세하게 말씀해 주시거나 논문을 소개해 주실 수는 없겠는지요?

아, 이런, 가장 중요한 얘기를 빼먹었네요... 모두들 건강하게 계시죠? 그 때가 그립습니다.

역쉬~ 해결사! 지금 너무 읽고 싶은데 시간이 없네요.
읽고 다시 뭔가 흔적을 남기겠습니다. 건강하세요^^

분명하진 않지만 뭔가 생각을 옮겨갈 발판은 마련된 것 같습니다
바쁘더라도 종종 들러서 백두대간님의 전공 얘기도 좀 섞어서
글 좀 풍성하게 남겨 주시면 생각에 많은 도움이 되겠습니다.^-^

백두대간님, 바쁜 와중에 이렇게 훌륭하게 코멘트를 해 주시다니, 고맙습니다. 시험은 잘 치르고 계신가요? ^^
사실 에르고딕 가설에 대해 저의 고민이 충분하지는 않았는데, 이번 기회에 이 생각을 잘 정리해서 논문으로 만들어야지 하고 결심하고 있답니다. 칸트 얘기는 제 독창적인 생각은 아니고, 장회익 선생님께서 작년 가을 학술진흥재단에서 주최한 석학특강에서 얘기하신 것입니다. 그 뒤에 다시 칸트를 읽어보니 정말 그럴싸하더라구요. 다만 굳이 말하면 카시러 계열의 신칸트주의적 해석에 더 가까울 것 같다는 것이 제 생각입니다.

저는 물리학을 전공하고 철학에 관심이 많은 사람입니다.

<양자역학의 서울해석>에 대한 개략적인 소개를 얻을수 있는지요?

 

황님~ 최고!!! 고맙습니다~